Buchrezensionen

Partielle Differentialgleichungen analytisch und numerisch betrachtet –
eine Einführung

Eine Rezension zu
Stig Larsson, Vidar Thomee
Partielle Differentialgleichungen und numerische Methoden

Springer Verlag, Berlin 2005, 272 Seiten, Paperback, 39,95€, ISBN 3 540 20823 2

Rezensiert von Ute Schreiber

Partielle Differentialgleichungen und ihre numerische Lösung gehören zu den aktuellsten Themengebieten der angewandten Mathematik. Dabei ist es oft schwer, die Verbindung zwischen der Theorie der partiellen Differentialgleichungen der Analysis auf
der einen Seite und ihrer numerischen Lösungsverfahren auf der anderen Seite für Studenten der angewandten Mathematik und
der Ingenieurwissenschaften als Einstieg aufzubereiten. Das Buch von Larsson und Thomee überwindet diese Schwierigkeiten scheinbar mühelos. Gut strukturiert gehen die Autoren nacheinander auf jede Klassen der partiellen Differentialgleichungen
(elliptisch, parabolisch und hyperbolisch) in den einzelnen Kapiteln ein. Dabei werden anhand von speziellen Vertretern der
Klassen (Wärmeleitungsgleichung, Wellengleichung, Poissongleichung usw.) Bedeutung und physikalische Interpretation als Motivation genutzt. Anschließend wird der Leser über allgemeine Eigenschaften der Differentialgleichungen informiert, welche
dann wiederum für die numerischen Lösungsverfahren genutzt werden.

Das Buch beginnt mit einer Einleitung, welche die Klassifizierung partieller Differentialgleichungen, Definitionen für mathematische Notationen sowie die Herleitung der immer wieder genutzten Wärmeleitungsgleichung umfaßt. Es folgen einzelne Kapitel zu jeder Klasse partieller Differentialgleichung. Diese beinhalten Beweise für Stabilität, Existenz- und Eindeutigkeit der kontinuierlichen und
diskreten Lösungungen sowie Fehlerabschätzungen für die numerischen Methoden. Dazu werden im Wesentlichen Maximumprinzipien, Fouriermethoden, Energieabschätzungen und Greensche Funktionen genutzt, die zum Teil im laufenden Text oder im Anhang bereitgestellt werden. Für die Diskretisierung werden die Methode der Finiten Elemente sowie die Methode der Finiten Differenzen eingehender betrachtet. Weitere Methoden werden am Ende des Buches in einem speziellen Kapitel kurz vorgestellt.

Alle Kapitel enden mit mehreren Übungsaufgaben, die numerisch am Computer bzw. theoretisch gelöst werden sollen. Leider werden, wie oft in Lehrbüchern, keine Lösungsvorschläge für die Übungsaufgaben gegeben. Auch wenn die Aufgaben
nicht besonders schwer scheinen, so ist es doch gerade für Studenten wichtig, ihr erworbenes Wissen anhand von zu lösenden Aufgaben zu überprüfen und zu testen.

Das Buch „Partielle Differentialgleichungen und numerische Methoden” bietet dem Leser einen inhaltlich umfangreichen, gut
lesbaren sowie kurz und sehr übersichtlich dargelegten Einstieg in die Darstellung der linearen partiellen Differentialgleichungen.
Dem Mathematiker wird am Ende des Buches klar sein, daß oft nur numerische Verfahren fähig sind, die eigentlichen Werte der Lösung zu finden. Der Numeriker hat gelernt, daß numerische Methoden nur mithilfe ausreichender Kenntnis der Theorie
entworfen, analysiert und verstanden werden können.

Gesamteindruck:

„Partielle Differentialgleichungen und numerische Methoden” ist eindeutig als ein Lehrbuch konzipiert und als guter Einstieg in die Thematik geeignet. Da das Lesen des Buches keine tiefer gehenden Kenntnisse in Analysis bzw. Funktionalanalysis voraussetzt,
ist es sowohl für Mathematikstudenten als auch für interessierte Studenten der Ingenieurwissenschaften sehr gut geeignet.